Question

Помогите решить, пожалуйста

Answer 1

Определим область допустимых значений(ОДЗ). Дробь существует, если знаменатель дроби не обращается в 0, то есть

$x^3-9a^2x\ne 0\\ x(x^2-9a^2)\ne 0\\ x(x-3a)(x+3a)\ne 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей обращается 0, в обратном смысле:

$x_1\ne0\\ x_2\ne-3a\\ x_3\ne 3a$

Теперь нужно поработать с уравнением. Умножим оба части уравнения на $x^3-9a^2x$, получим

$x^3+x^2-9a^2x-2x+a=x^3-9a^2x\\ x^2-2x+a=0~~~~~~~~~~~~~~~~\big(\star\big)\\ D=4-4a$

Квадратное уравнение имеет один единственный корень, если его дискриминант равно нулю, то есть

$4-4a=0\\ a=1$

Подставим теперь корни из ОДЗ в уравнение $\big(\star\big)$, получим

$x=0;~ a=0$

$x=-3a;~~ (-3a)^2-2\cdot(-3a)+a=0\\ 9a^2+6a+a=0\\ 9a^2+7a=0\\ a(9a+7)=0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей обращается в 0.

$a=0;~~~ a=-7/9$

$x=3a;~~ (3a)^2-2\cdot 3a+a=0\\ 9a^2-6a+a=0\\ 9a^2-5a=0\\ a(9a-5)=0\\ a=0;~ ~~~~a=5/9$

Ответ: уравнение имеет ровно один корень при a=0; a=1; a=5/9; a=-7/9