Question

Ребята помогите решить интеграл dx/(x*(x+1)^2)/
Никак не получается .Может вы поможете.Спасибо заранее.

Answer 1

$\displaystyle \int \frac{dx}{x(x+1)^2}$ 

Разложим подынтегральное выражение на сумму простейших дробей

$\displaystyle \frac{1}{x(x+1)^2} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1}+ \frac{C}{(x+1)^2} \\ \\ 1=A(x+1)^2+Bx(x+1)+Cx\\ \\ x^0~:~~ 1=A\\ x^{-1}~: 1=-C~~\Rightarrow~~ C=-1\\ \\ x^1~:1=4A+2B+C~~\Rightarrow~~~ B= \frac{1-4\cdot 1+1}{2}=-1$


Имеем:


$\displaystyle \int \frac{dx}{x(x+1)^2} =\int\frac{dx}{x} -\int\frac{dx}{x+1}-\int \frac{dx}{(x+1)^2} =\\ \\ \\ =\ln |x|-\ln |x+1|+ \frac{1}{x+1}+C$