Question

Решите плизз) ❤️дала 100 балла. Вычислить числовые характеристики случайных чисел.
Распределение значений Х проводится по сходящейся функции (функцию прикрепила сверху) и называется нормальным. Найти математическое ожидание и дисперсию.

Answer 1

Пусть $\xi$ - случайная величина.

Найдем математическое ожидание $M(\xi-a)$, воспользовавшись формулой $\displaystyle Mg(\xi)= \int\limits^{+\infty}_{-\infty} {g(x)p(x)} \, dx$ и затем сделаем замену $(x-a)/\sigma=t$, получим:

$M(\xi-a)=\displaystyle \int\limits^{+\infty}_{-\infty}(x-a)p(x)dx=\int\limits^{+\infty}_{-\infty} \frac{x-a}{ \sqrt{2 \pi }\sigma } e^{- \frac{(x-a)^2}{2\sigma^2} }dx=\\ \\ \\ = \frac{1}{ \sqrt{2 \pi } } \int\limits^{+\infty}_{-\infty} \frac{x-a}{\sigma}e^{-0.5( \frac{x-a}{\sigma})^2 } dx= \frac{\sigma}{ \sqrt{2 \pi } } \int\limits^{+\infty}_{-\infty}te^{-t^2/2}dt=\\ \\ \\ = \frac{\sigma}{\sqrt{2 \pi }} \int\limits^{}_{[-n;n]}te^{-t^2/2}dt=0$

Последний интеграл равен нулю как интеграл от нечетной функции по симметричному промежутку, таким образом $M(\xi-a)=0$, следовательно $M\xi=a$


Найдем дисперсию


$\displaystyle D\xi=M(\xi-M\xi)^2=M(\xi-a)^2=\int\limits^{+\infty}_{-\infty}(x-a)^2 \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi } } e^{- \frac{(x-a)^2}{2\sigma^2} }dx~\boxed{=}$

После замены $(x-a)/\sigma=t$ имеем


$\boxed{=}~\displaystyle \frac{\sigma^2}{ \sqrt{2 \pi } } \int\limits^{+\infty}_{-\infty}t^2e^{-t^2/2}dt=- \frac{\sigma^2}{ \sqrt{2 \pi } } \int\limits^{+\infty}_{-\infty}td(e^{-t^2/2})= \\ \\ =\frac{\sigma^2}{\sqrt{2 \pi }} \int\limits^{+\infty}_{-\infty}e^{-t^2/2}dt= \frac{\sigma^2}{\sqrt{2 \pi }}\cdot \sqrt{2 \pi } =\sigma^2$


Последний интеграл как интеграл Эйлера-Пуассона равен $\sqrt{2 \pi }$