Question

Пользуясь признаками исследовать сходимость ряда 1/1*2 + 1/2*3 + 1/3*4 + 1/4*5 + ...

Answer 1

Запишем этот ряд в виде суммы
Сумма от 1 до n  1/((2n-1)*2n)
Переведём в интеграл по интегральному признаку Коши
int от 1 до беск
$\int\limits^{1}_{inf}{\frac{1}{2x*(2x-1)} } \, dx$ (как-то криво это делается) 
Находим этот интеграл и профит 
=0.5 * ln|(2x-1)/x)|= 0.5*ln|2-1/x|=0.5*(ln(2-1/inf) - ln (2-1/1)=0.5*ln(2/1)=0.5ln2 , ряд сходится (где-то знак потерян, судя по тому, что ln2<0 )

Ну или способ проще : 
Разбиваем каждый элемент суммы на разность: 
1/(1*2)= 1- 1/2 
1/(2*3)= 1/2-1/3 
и получаем что-то типа 
(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+...=
1-1/2n = 1 , ряд сходится

upd
Можно было ещё по признаку сравнения прогнать : 1/(2n*2n)<1/((2n-1)*2n)<1/((2n-1)(2n-1)), как известно ряд 1/n^2 = 0, ряд 1/(n-1)^2=0, по признаку сравнению 0< твой ряд < 0 => твой ряд = 0

upd 2 
1/(a*b)= [1/(b-a)]*(1/a-1/b) = [1/(b-a)] * ((b-a)/(b*a)) ,  поэтому во втором способе сумма так раскладывается