Question

Окружность, вписанная в треугольник ABC , касается сторон BC и AC
в точках M и N соответственно, E и F — середины сторон AB и AC
соответственно. Прямые MN и EF пересекаются в точке D .
а) Докажите, что треугольник DFN равнобедренный.
б) Найдите площадь треугольника BED , если AB = 20 и ∠ABC=60°

Answer 1

Я сделаю исключение для этой задачки. Потому что результат озадачил и меня. В конце скажу - почему.

1) Тут все очень просто.

∠NMC = ∠FDN; но CN = CM; => ∠NMC = ∠MNC = ∠FND; то есть FD = FN (лежат напротив равных углов в треугольнике FND)

На самом деле гораздо проще увидеть что треугольники FDN и CMN подобны, так как EF II BC;

2) А вот тут - занятно.

Пусть BC = a; AC = b; AB = c; AN = AK (K - третья точка касания) = x; BK = BM = y; CM = CN = z; 

x + y = c;

x + z = b;

y + z = a;

Откуда z = (a + b - c)/2; или z = p - c; где p = (a + b + c)/2;

x = p - a; y = p - b;

Дальше конкретные вычисления зависят от взаимного расположения середин сторон и точек касания. Для случая на приложенном рисунке удобно вычислять ED, представив BC = a = (p - c) + (p - b);

FN = (p - c) - b/2;

ED = EF - FD = BC/2 - FD = (p-b)/2 + (p-c)/2 - (p-c) + b/2 = c/2;

то есть ED = c/2;

Легко видеть, что треугольник EBD - равнобедренный, EB = ED = c/2;

Это, в свою очередь, означает, что точка D лежит на биссектрисе угла ABC; причем независимо от того, где находятся точки A и С на касательных из точки B; я не вижу тут кого-то "геометрического" объяснения, что странно. Может, кто-нибудь его видит?

Почему средняя линия,  параллельная AB, KN и биссектриса угла B тоже пересекаются в одной точке?

Площадь равнобедренного треугольника с боковыми сторонами ED = EB = 10 и углом между ними 120 градусов находятся элементарно. В ответе будет 25√3;