Предмет: Геометрия, автор: dfdddfdf

Окружность, вписанная в треугольник ABC , касается сторон BC и AC
в точках M и N соответственно, E и F — середины сторон AB и AC
соответственно. Прямые MN и EF пересекаются в точке D .
а) Докажите, что треугольник DFN равнобедренный.
б) Найдите площадь треугольника BED , если AB = 20 и ∠ABC=60°


vegueline: как найти площадь

Ответы

Автор ответа: cos20093
6

Я сделаю исключение для этой задачки. Потому что результат озадачил и меня. В конце скажу - почему.

1) Тут все очень просто.

∠NMC = ∠FDN; но CN = CM; => ∠NMC = ∠MNC = ∠FND; то есть FD = FN (лежат напротив равных углов в треугольнике FND)

На самом деле гораздо проще увидеть что треугольники FDN и CMN подобны, так как EF II BC;

2) А вот тут - занятно.

Пусть BC = a; AC = b; AB = c; AN = AK (K - третья точка касания) = x; BK = BM = y; CM = CN = z; 

x + y = c;

x + z = b;

y + z = a;

Откуда z = (a + b - c)/2; или z = p - c; где p = (a + b + c)/2;

x = p - a; y = p - b;

Дальше конкретные вычисления зависят от взаимного расположения середин сторон и точек касания. Для случая на приложенном рисунке удобно вычислять ED, представив BC = a = (p - c) + (p - b);

FN = (p - c) - b/2;

ED = EF - FD = BC/2 - FD = (p-b)/2 + (p-c)/2 - (p-c) + b/2 = c/2;

то есть ED = c/2;

Легко видеть, что треугольник EBD - равнобедренный, EB = ED = c/2;

Это, в свою очередь, означает, что точка D лежит на биссектрисе угла ABC; причем независимо от того, где находятся точки A и С на касательных из точки B; я не вижу тут кого-то "геометрического" объяснения, что странно. Может, кто-нибудь его видит?

Почему средняя линия,  параллельная AB, KN и биссектриса угла B тоже пересекаются в одной точке?

Площадь равнобедренного треугольника с боковыми сторонами ED = EB = 10 и углом между ними 120 градусов находятся элементарно. В ответе будет 25√3;

Приложения:

cos20093: интересно, а кто это нарушение поставил? Я ведь могу и убрать текст отсюда - для этого мне просто не надо ничего делать. Я смотрю, сайт уже совсем потерял свой первоначальный уровень.
cos20093: В любом случае, это было последнее исключение - больше никаких ответов, только комментарии. Если кто не понимает, в чем отличие - задачи без решения со временем исчезают с сервиса вместе с комментами. А следующая стадия - когда не будет и комментариев. Можно подумать, что это мне надо - оформлять решение, набирать его в корявом редакторе и так далее.
cos20093: Сайт уже потерял кучу действительно сильных участников благодаря "политике". Все идет к тому, что тут будут одни вопросы, без ответов (если не считать ответов на вопросы типа, как найти синус, если известен косинус).
angelica16: Разве не так ED = EF - FD?
cos20093: Зависит от того, где лежит точка D. В тексте это есть.
Andr1806: Если провести DQ║AB, то по доказанному Вами четырехугольник EBQD - ромб, а "это, в свою очередь, означает, что точка D лежит на биссектрисе угла ABC; причем независимо от того, где находятся точки A и С на касательных из точки B".
cos20093: Я думал, что исчерпаны все возможности ухудшения сайта, однако - я ошибся! Отключена личная переписка, и комментарии в профилях. Это действительно сильно. Остается отделить решающего от персонализации вообще, чтобы все ответы сначала модерировались, а потом принятые размещались, как ответы сервиса, а не участника, полностью анонимно :).
Andr1806: То ли еще будет! Борьба за безопасность и конфиденциальность... О ЛС полностью с Вами согласен - сильно!
999Dmitry999: Здравствуйте .Вы бы не могли бы помочь с 1 примером?
Похожие вопросы
Предмет: Математика, автор: gyfyfyeut5f5fy
Предмет: Математика, автор: era65
Предмет: Математика, автор: ларина4