Question

Найти кратчайшее расстояние от точки А(-1, 5) до параболы y^2=x

Answer 1

Пусть y(t) = t, x(t) = t^2. Тогда каждом конкретном t, (x(t); y(t)) - точка на параболе.
Расстояние между точками A(-1, 5) и (x(t),y(t)):
R(t) = sqr[ (x(t) + 1)^2 + (y(t) - 5)^2 ]
Подставим x(t) и y(t)
R(t) = sqr[ t^4 + 3 t^2 - 10 t + 16 ]
Кротчайшее расстояние - минимум функции R(t).

R'(t) = (4 t^3 + 6 t - 10) / sqr[ t^4 + 3 t^2 - 10 t + 16 ]
Решим уравнение R'(to) = 0:
4 to^3 + 6 to - 10 = 0
Видно, что to = 1 - решение уравнения
Тогда:
(4 to^2 + 4 to + 10)(to - 1) = 0
4 to^2 + 4 to + 10 = 0
D = 16 - 160 < 0
Значит только одна точка экстремума tо = 1
R'(t) < 0 при t<to
R'(t) > 0 при t>to
Значит в точке t=to - минимум функции R(t)
Значит кротчайшее расстояние:
R(to) = sqr[ to^4 + 3 to^2 - 10 to + 16 ] = 
= sqr[ 1 + 3 - 10 + 16 ] = sqr(10)

Ответ: sqr(10)