Question

Найти все значения параметра, при которых уравнение $|x^{2} +ax|=-3a$ имеет два корня

Answer 1

Возведем обе части уравнения в квадрат, при условии что $a\ \textless \ 0$

$(x^2+ax)^2=9a^2\\ \\ (x^2+ax)^2-9a^2=0\\ \\ (x^2+ax+3a)(x^2+ax-3a)=0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

$\left[\begin{array}{ccc}x^2+ax+3a=0\\ x^2+ax-3a=0\end{array}\right$

Нам нужно найти такие значения параметра а, при которых один из двух уравнений примет 2 корня, т.е. должно выполнятся следующие неравенства

$\left[\begin{array}{ccc}\begin{cases} & \text{ } a^2-12a\ \textgreater \ 0 \\ & \text{ } a^2+12a\ \textless \ 0 \end{cases}\\ \begin{cases} & \text{ } a^2-12a\ \textless \ 0 \\ & \text{ } a^2+12a\ \textgreater \ 0 \end{cases}\end{array}\right~~~\Rightarrow~~~~ \left[\begin{array}{ccc}-12 \ \textless \ a \ \textless \ 0\\ \\ \\ 0 \ \textless \ a \ \textless \ 12\end{array}\right$

С учетом условии a<0 получим окончательный ответ $a \in (-12;0).$