Question

методом математической индукции доказать 3+20+168+...+(2n+1)2^(n-1) n!=2^n (n+1)!-1

Answer 1

1) При $n=1$ равенство примет вид: $(2\cdot 1+1)\cdot 2^{0}1!=2^12!-1$ или $3=3$. Следовательно, предложение $P(1)$ истинно.

2) Предположим, что данное равенство справедливо и при n=k, т.е.

$3+20+168+...+(2k+1)2^{k-1}k!=2^k(k+1)!-1$

3) Индукционный переход: $n=k+1$

$3+20+168+...+(2k+1)2^{k-1}k!+(2k+3)2^k(k+1)!=\\ \\ =2^{k+1}(k+2)!-1\\ \\ 2^k(k+1)!-1+(2k+3)2^k(k+1)!=2^{k+1}(k+2)!-1\\ \\ 2^k(k+1)!(1+2k+3)-1=2^{k+1}(k+2)!-1\\ \\ 2^k(k+1)!(2k+4)-1=2^{k+1}(k+2)!-1\\ \\ 2^k\cdot 2(k+1)!(k+2)-1=2^{k+1}(k+2)!-1\\ \\ 2^{k+1}(k+2)!-1=2^{k+1}(k+2)!-1$

Это утверждение верно.


Таким образом, согласно методу математической индукции, исходное равенство справедливо для любого натурального n.