Question

В прямоугольный треугольник вписана окружность. Найдите гипотенузу треугольника, если радиус окружности равен 8 см, а периметр треугольника равен 106 см.

Answer 1

катет
a = x+8
катет
b = y+8
гипотенуза
c = x+y
---
теорема Пифагора
a² + b² = c²
(x+8)² + (y+8)² = (x+y)²
16x + 64 + 16y + 64 = 2xy
8x + 8y - xy +64 = 0
---
Периметр
2x + 2y + 16 = 106
x + y = 90
y = 90 - x
подставим 
8x + 8(90 - x) - x(90 - x) + 64 = 0
x² - 90x + 784 = 0
Дискриминант
D = 90² - 4*784 = 4964 = 4*1241
x₁ = (90 - 2√1241)/2 = 45 - √1241 см
x₂ = (90 + 2√1241)/2 = 45 + √1241 см
в силу симметрии уравнений по x и y
x = 45 - √1241 см
y = 45 + √1241 см
гипотенуза
c = x+y = 90 см