Question

Задание 1.

Преобразуйте выражение, чтобы получить многочлен стандартного вида. Укажите степень многочлена.



Задание 2.

Докажите, что при любых целых значениях x многочлен делится на 7.



Задание 3.

Докажите, что при любых действительных значениях x многочлен не может принимать отрицательных значений.

Answer 1

Многочлен стандартного вида:
$28 {x}^{4} - 28 {x}^{2} + 7$
4-я степень.

Можно записать многочлен по-иному:
$7(4 {x}^{4} - 4 {x}^{2} + 1)$
Очевидно, многочлен делится на 7, т.к. один из его множителей равен 7.

Пусть,
${x}^{2} = y$
$28 {y}^{2} - 28y + 7 \geqslant 0 \\ 4 {y}^{2} - 4y + 1 \geqslant 0 \\ d = {4}^{2} - 4 \times 4 = 0$
Мы видим, что у нас только один возможный корень (значение нас не интересует), значит, график лишь 1 раз коснется оси X; значит минимальное значение многочлена - ноль, т.е. нет отрицательных значений