Question

Дифференциальные уравнения
Пример №2
Срочно, пожалуйста, завтра сдавать:D

Answer 1

$y'+y=x^4+1\\\\y=uv\; ,\; \; y'=u'v+uv'\\\\u'v+uv'+uv=x^4+1\\\\u'v+u\cdot (v'+v)=x^4+1\\\\a)\; \; v'+v=0\; ,\; \; \frac{dv}{dx}=-v\; ,\; \int \frac{dv}{v}=-\int dx\\\\ln|v|=-x\; ,\; \; v=e^{-x}\\\\b)\; \; u'v=x^4+1\; ,\; \; \frac{du}{dx}\cdot e^{-x}=x^4+1\; ,\; \; \int du=\int (x^4+1)\cdot e^{x}\, dx\\\\\int (x^4+1)\cdot e^{x}dx=[\, u=x^4+1,\; du=4x^3\, dx,\; dv=e^{x}\, dx,\\\\v=e^{x},\; \int u\, dv=uv-\int v\, du\, ]=(x^4+1)e^{x}-4\int x^3\cdot e^{x}\, dx=\\\\=[\, u=x^3,\; du=3x^2\, dx,\; dv=e^{x}\, dx,\; v=e^{x}\, ]=$

$=(x^4+1)e^{x}-4\cdot (x^3e^{x}-3\int x^2e^{x}\, dx)=[\, u=x^2,\; du=2x\, dx,\\\\dv=e^{x}\, dx,\; v=e^{x}\, ]=(x^4+1)e^{x}-4\cdot x^3e^{x}+\\\\+12\cdot (x^2e^{x}-2\int xe^{x}\, dx)=[\, u=x,\; du=dx,\; dv=e^{x}dx,\; v=e^{x}\, ]=\\\\=(x^4+1)e^{x}-4x^3e^{x}+12x^2e^{x}-24(xe^{x}-\int e^{x}dx)=\\\\=(x^4+1)e^{x}-4x^3e^{x}+12x^2e^{x}-24xe^{x}+24e^{x}+C;\\\\u=e^{x}(x^4+1-4x^3+12x^2-24x+24)+C\; ;\\\\c)\; \; y=uv=x^4+1-4x^3+12x^2-24x+24+Ce^{-x}\; ;\\\\y(1)=-3:\; 1+1-4+12-24+24+\frac{C}{e}=-3\; ,\\\\10+\frac{C}{e}=-3,\; C=-13e\\\\y=x^4+1-4x^3+12x^2-24x+24-13\cdot e^{1-x}$