Question

Окружности с центрами О1 и О2 касаются в точке А внешним образом. Прямая проходящая через точку А вторично пересекает первую окружность в точке В, а вторую в точке С. Докажите, что прямая О2С параллельна прямой О1В и найдите площадь треугольника ВСО2, если известно, что радиуса первой и второй окружностей равны 5 и 8 соответственно, а угол АВО1=15°

Answer 1

ΔBO₁A - равнобедренный т.к. BO₁ = AO₁ как радиусы одной окружности, поэтому ∠O₁BA = ∠O₁AB.

ΔCO₂A - равнобедренный т.к. CO₂ = AO₂ как радиусы одной окружности, поэтому ∠O₂СA = ∠O₂AС.

Центры окружностей и их точка касания лежат на одной прямой, A∈O₁O₂.

∠O₁AB = ∠O₂AC как вертикальные.

Получаем, что ∠O₁AB = ∠O₁AB = ∠O₂AC = ∠O₂СA

Откуда ∠O₂СA = ∠O₁AB эти углы являются внутренними накрест лежащими для секущей BC и прямых O₂C, BO₁. Раз они равны, то O₂C║BO₁ ч.т.д.

В равнобедренном треугольника высота проведённая к основанию является и медианой. Если боковая сторона равна а, а острый угол равен α. То основание равно 2а·cosα. Подробнее смотри внизу приложения.

В ΔBO₁A:

BO₁=5, ∠O₁BA=15° ⇒ AB = 2·BO₁·cos∠O₁BA = 10cos15°

В ΔCO₂A:

CO₂=8, ∠O₂CA=15° ⇒ AC = 2·CO₂·cos∠O₂CA = 16cos15°

BC = AB+AC = 10cos15°+16cos15° = 26cos15°

В ΔBO₂C:

BC=26cos15°, O₂C=8, ∠O₂CB=15°

Тогда S(BO₂C) = $\dfrac12$ BC·O₂C·sin∠O₂CB = $\dfrac12$ 26cos15°·8·sin15° = 13·(2sin15°·cos15°)·8/2 = 13·4·sin30° = 13·4/2 = 26

Ответ: 26.

sin2x = 2sinx·cosx