Question

Найдите периметр треугольника, стороны которого составляют арифметическую прогрессию с разностью 7, если известно, что произведение радиусов вписанной и описанной окружностей равно 40.

Answer 1

Пусть стороны: а, а+3, а+6. Тогда
Р=а+а+3+а+6=3а+9, р=Р/2=(3а+9)/2
r*R=180
r=S/p, R=abc/4S
S^2=p(p-a)(p-b)(p-c)
Подставив вместо a,b,c данные стороны в формулы радиусов, получим:

r= \sqrt{(a-3)(a+9)/12}

R=a(a+6)/ \sqrt{3(a+9)(a-3}

r*R= \sqrt{ \frac{(a-3)(a+9}{12} } * \frac{a(a+6)}{ \sqrt{3(a+9)(a-3)} } = \frac{a(a+6)}{6}=180
Получаем квадратное уравнение:
a^2+6a-1080=0
Решаем, получаем корни: а=30, а=-36. Берем только положительный.
Р=3*30+9=9