Предмет: Математика,
автор: Jazimus
на какую наибольшую степень двойки делится число
![10 {}^{10} - 2 {}^{10} 10 {}^{10} - 2 {}^{10}](https://tex.z-dn.net/?f=10+%7B%7D%5E%7B10%7D++-+2+%7B%7D%5E%7B10%7D+)
Ответы
Автор ответа:
2
Для начала воспользуемся тем, что 10 = 2 * 5:
![10^{10}-2^{10}=(2\cdot5)^{10}-2^{10}=2^{10}\cdot5^{10}-2^{10}=2^{10}(5^{10}-1) 10^{10}-2^{10}=(2\cdot5)^{10}-2^{10}=2^{10}\cdot5^{10}-2^{10}=2^{10}(5^{10}-1)](https://tex.z-dn.net/?f=10%5E%7B10%7D-2%5E%7B10%7D%3D%282%5Ccdot5%29%5E%7B10%7D-2%5E%7B10%7D%3D2%5E%7B10%7D%5Ccdot5%5E%7B10%7D-2%5E%7B10%7D%3D2%5E%7B10%7D%285%5E%7B10%7D-1%29)
Рассмотрим множитель в скобках. Разложим это выражение по формуле разности квадратов:
![5^{10}-1=(5^5)^2-1=(5^5-1)(5^5+1) 5^{10}-1=(5^5)^2-1=(5^5-1)(5^5+1)](https://tex.z-dn.net/?f=5%5E%7B10%7D-1%3D%285%5E5%29%5E2-1%3D%285%5E5-1%29%285%5E5%2B1%29)
Получились уже совсем небольшие сомножители, их можно легко посчитать. Делать мы этого, разумеется, не будем, вместо этого посчитаем остаток от деления числа
на 8.
дает остаток 1 при делении на 8, тогда
тоже дает остаток 1 при делении на 8, а
дает остаток 5 при делении на 8, откуда
при некотором натуральном n.
Значит,
делится на 4 и не делится на 8, а
делится на 2, но не на 4. Получается, что максимальная степень двойки, на которую делится произведение
, есть ![2^{10}\cdot4\cdot2=2^{13} 2^{10}\cdot4\cdot2=2^{13}](https://tex.z-dn.net/?f=2%5E%7B10%7D%5Ccdot4%5Ccdot2%3D2%5E%7B13%7D)
Рассмотрим множитель в скобках. Разложим это выражение по формуле разности квадратов:
Получились уже совсем небольшие сомножители, их можно легко посчитать. Делать мы этого, разумеется, не будем, вместо этого посчитаем остаток от деления числа
Значит,
Похожие вопросы
Предмет: Математика,
автор: kubyshevaailin2000
Предмет: История,
автор: dargusevahamida
Предмет: Русский язык,
автор: meirambekernur2008
Предмет: Математика,
автор: milka291005
Предмет: Математика,
автор: yuliyakozik