Question

Найдите наибольший коэффициент многочлена (3+2x)^2017 после раскрытия скобок и приведения подобных членов

Answer 1

Коэффициент при $k-$й степени равен $a_k=C^k_{2017}3^{2017-k}2^k$ (из формулы бинома Ньютона)

Рассмотрим отношение $\dfrac{a_{k}}{a_{k+1}} :$

$\dfrac{a_{k}}{a_{k+1}} = \dfrac{2017!}{k!(2017-k)!} \cdot \dfrac{(k+1)!(2017-k-1)!}{2017!}\cdot \dfrac{3^{2017-k}}{3^{2017-k-1}} \cdot \dfrac{2^k}{2^{k+1}} =\\ \\ \\ = \dfrac{3(k+1)}{2(2017-k)}$

Последнее отношение явно больше единицы при $3k+3\ \textgreater \ 4034-2k$, т.е. при $5k\ \textgreater \ 4031$. Таким образом, при $k=807$ коэффициенты $a_{807}\ \textgreater \ a_{808}\ \textgreater \ ...$ и тем самым убеждаемся что при k=807 коэффициент будет наибольшим

$a_{807}=C^{807}_{2017}3^{1210}2^{807}$