Question

Для каждого допустимого значения а решите неравенство $a^{x}(a-1)^x - 2a^{x+1} - (a-1)^x + 2a \leq 0$ и найдите, при каких значениях а множество решений неравенства представляет собой промежуток длины 2.

Answer 1

 a^x*(a-1)^x-2a*a^x-(a-1)^x+2a <= 0    
 a^x((a-1)^x-2a)-((a-1)^x-2a)) <= 0 
 (a^x-1)((a-1)^x-2a) <= 0 
    
 Общность решения 
 1.   {a^x<=1  {(a-1)^x>=2a     
 2.  {a^x>=1  {(a-1)^x<=2a    
  
 Отсюда получаем 4 случая  
1)    
При a<0 , получаем что решений нет, так как основание логарифма (a) отрицательное (решения только в целых числах)  
2)
 При 0<a<1 получаем что основание логарифма (a-1) так же отрицательное 
3) 
 При 1<=a<2 получаем  
(-oo;log(a-1)(2a)) U (0;+oo)  
4) 
 При a>=2 
 Получаем 
 x>=0  x<=log(a-1)2a   
 5)
 Откуда [0,log(a-1)2a] 
 log(a-1) 2a = 2 
 2a=(a-1)^2 
 2a=a^2-2a+1 
 a>1  
 a^2-4a+1=0 
 D=12 
 a=(4+2√3)/2 = 2+√3 
 При  a=2+√3 множество решений [0,2]