Question

Помогите с решением, определенных интегралов необходимо подробное решение! спасибо!!!

Answer 1

$\int\limits^4_0 {(1-\sqrt{x})^2} \, dx = \int\limits^4_0 {(1-2\sqrt{x}+x)} \, dx = \left.\left(x-2\cdot\frac{2}{3}\sqrt{x^3}+\frac{x^2}{2}\right)\right|_0^4=\\ =4-\frac{32}{3}+8=\frac{36-32}{3}=\frac{4}{3}$

$\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} {\frac{\sin x\,dx}{(2-\cos x)^2}}= \left[\begin{array}{cc}\cos x=t,&dt=-\sin x dx\\t_1=\cos 0=1,&t_2=\cos \frac{\pi}{2}=0\end{array}\right]= \int\limits_1^0 {\frac{-dt}{(2-t)^2}}= \\ =\int\limits_0^1 {\frac{dt}{(t-2)^2}}=\left.-\frac{1}{t-2}\right|_0^1=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$