Question

30 баллов даю, Помогите пожалуйста Решить однородное дифференциальное уравнение первого порядка
y’=(x+y)/(x-y)
y(1)=0

Answer 1

$\displaystyle y'=\frac{x+y}{x-y}\\y=tx;y'=t'x+t\\t'x+t=\frac{x+tx}{x-tx}\\\frac{xdt}{dx}=\frac{1+t^2}{1-t}\\\frac{dx}{x}=\frac{1-t}{1+t^2}dt\\\int\frac{dx}{x}=\int\frac{dt}{1+t^2}-\frac{1}{2}\int\frac{d(1+t^2)}{1+t^2}\\ln|x|=arctgt-\frac{1}{2}ln|1+t^2|+C\\ln|x^2|=2arctg\frac{y}{x}-ln|\frac{x^2+y^2}{x^2}|+C\\2arctg\frac{y}{x}-ln|x^2+y^2|=C\\y(1)=0\\2arctg0-ln1=C\\C=-1\\2arctg\frac{y}{x}-ln|x^2+y^2|+1=0$