Question

Определить частное решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, удовлетворяющее заданным начальным условиям:

Answer 1

Данное дифференциальное уравнение является однородным. Сделаем замену Эйлера $y=e^{kx}$, в результате чего получаем характеристическое уравнение

$k^2-3k=0\\ k(k-3)=0\\ k_1=0;\\ k_2=3$

Общее решение однородного уравнения:  $y=C_1+C_2e^{3x}$

$y'=(C_1+C_2e^{3x})'=3C_2e^{3x}$
Осталось найти частное решение, подставляя начальные условия
$\displaystyle \left \{ {{0=C_1+C_2} \atop {-1=3C_2}} \right. ~~\Rightarrow~~~ \left \{ {{C_1=\frac{1}{3} } \atop {C_2=- \frac{1}{3} }} \right.$


Частное решение:   $y=\frac{1}{3} -\frac{1}{3} e^{3x}$