Question

Найти первые и вторые частные производные: z=arctg(xy).

Answer 1

$z=arctg(xy)\\\\z'_{x}=\frac{1}{1+(xy)^2}\cdot y=\frac{y}{1+x^2y^2}\\\\z'_{y}=\frac{x}{1+x^2y^2}\\\\z''_{xx}=y\cdot \frac{-y^2\cdot 2x}{(1+x^2y^2)^2}=-\frac{2xy^3}{(1+x^2y^2)^2}\\\\z''_{xy}=\frac{1+x^2y^2-y\cdot x^2\cdot 2y}{(1+x^2y^2)^2}=\frac{1-x^2y^2}{(1+x^2y^2)^2}\\\\z''_{yy}=x\cdot \frac{-x^2\cdot 2y}{(1+x^2y^2)^2}=-\frac{2x^3y}{(1+x^2y^2)^2}$