Question

Интеграл, 1 ПРИМЕР, 40 баллов, вложение, ОЧЕНЬ СРОЧНО!

Answer 1

$\int \frac{\sqrt{x}-1}{x(\sqrt[3]{x^2}-1)}\, dx=[\, x=z^6\; ,\; dx=6z^5\, dz\, ]=\int\frac{(z^3-1)\cdot 6z^5}{z^6(z^4-1)}\, dz=\\\\=\int \frac{6\cdot (z-1)(z^2+z+1)}{z(z^2-1)(z^2+1)}\, dz=\int \frac{6\cdot (z-1)(z^2+z+1)}{(z-1)(z+1)(z^2+1)}\, dz=\int \frac{6(z^2+z+1)}{z(z+1(Z^2+1)}\, dz;$

$\frac{6(z^2+z+1)}{z(z+1)(z^2+1)}=\frac{A}{z}+\frac{B}{z+1}+\frac{Cz+D}{z^2+1} =\\\\=\frac{A(z+1)(z^2+1)+Bz(z^2+1)+(Cz+D)z(z+1)}{z(z+1)(z^2+1)};\\\\6z^2+6z+6=A(z+1)(z^2+1)+Bz(z^2+1)+(Cz^2+Dz)(z+1)\\\\z=0\; ,\; \; A=6\\z=-1\; ,\; \; B=-3\\\\z^2\; |\; 6=A+C+D\\z\; \; |\; 6=A+B+D\; ,\; \; 6=6-3+D\; ,\; D=3\; ,\\6=6+C+3\; ,\; C=-3\\\\\int (\frac{1}{z}+\frac{-3}{z+1}+\frac{-3z+3}{z^2+1})dz=ln|z|-3\, ln|z+1|-\frac{3}{2}\int \frac{2z\, dz}{z^2+1}+\\\\+3\int \frac{dz}{z^2+1}=ln|z|-3\, ln|z+1|-\frac{3}{2}\, ln|z^2+1|+$

$+3\cdot \frac{1}{2}\cdot arctgz+C=ln\sqrt[6]{x}-3\, ln(\sqrt[6]{x}+1)-\\\\-\frac{3}{2}\, ln(\sqrt[3]{x}+1)+\frac{3}{2}\cdot arctg\sqrt[6]{x}+C$