Исследовать ф-цию и построить её график
f(x)=-x^4+8x
Ответы
Общая схема для построения графиков функций
1. Найти область определения функции D(y): x ∈ (-∞; +∞).
2. Найти точки пересечения графика функций с осями координат.
- с осью Оу при х = 0. Получаем у = 0 (точка О(0; 0)).
- с осью Ох при у = 0.
Надо приравнять:
-x^4+8x = 0,-4х(х³ - 2) = 0.
Получаем 2 значения х = 0 и х = ∛2.
Точки: (0; 0) и (∛2; 6∛2).
3. Исследовать функцию на четность или нечетность.
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений:
f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
- x^{4} + 8 x ≠ - x^{4} - 8 x.
- x^{4} + 8 x ≠ - -1 x^{4} - - 8 x.
- Нет, значит, функция не является ни чётной ни нечётной
4. Исследовать функцию на периодичность - не периодична.
5. Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции.
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0 (производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
y' = - 4 x^{3} + 8 = 0.
Корни этого ур-ния
x_{1} = \sqrt[3]{2}
Значит, экстремум (он один) в точке: (∛2; 6∛2).
y' = 4 0 -24.
Это максимум, так как производная переходит от плюса к минусу
Интервалы возрастания и убывания функции:
Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает.Убывает на промежутках (-∞; 2^(1/3)].
Возрастает на промежутках [2^(1/3); ∞).
6. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции.
Вторая производная равна -12х².
Где
вторая производная меньше нуля, там график функции выпуклый, а где больше -
вогнутый.
Поэтому график только выпуклый.
7. Найти асимптоты функции - их нет.
8. По результатам исследования построить график - дан в приложении .
