Question

Помогите, пожалуйста

Проинтегрировать дифференциальное уравнение. При заданном начальном условии найти соответствующий частный интеграл или частное решение.

Answer 1

$\frac{dy}{dx}-\frac{3}{x}y=-x^3y^2|:y^2\\\frac{y'}{y^2}-\frac{3}{xy}=-x^3\\\frac{1}{y}=z;-z'=\frac{y'}{y^2}\\z'+\frac{3z}{x}=x^3\\z=uv,z'=u'v+v'u\\u'v+v'u+\frac{3}{x}uv=x^3\\u'v+u(v'+\frac{3v}{x})=x^3\\\begin{cases}v'+\frac{3v}{x}=0\\u'v=x^3\end{cases}\\\frac{dv}{dx}+\frac{3v}{x}=0\\\frac{dv}{v}=-3\frac{dx}{x}\\\int\frac{dv}{v}=-3\int\frac{dx}{x}\\ln|v|=-3ln|x|\\v=\frac{1}{x^3}\\\frac{du}{x^3dx}=x^3\\du=x^6dx\\\int du=\int x^6dx\\u=\frac{x^7}{7}+C\\z=uv=\frac{x^4}{7}+\frac{C}{x^3}$
$z=\frac{1}{y}=\frac{x^4}{7}+\frac{C}{x^3}=\frac{x^7+7C}{7x^3}\\y=\frac{7x^3}{x^7+C^*}$