Question

Помогите решить неравенство, пожалуйста!!!

Answer 1

Во-первых, область определения логарифма:
{ 5 - x > 0; x < 5
{ 5 - x ≠ 1; x ≠ 4
{ (x + 2)/(x - 5)^4 > 0
(x - 5)^4 = (5 - x)^4 > 0 при любом x < 5, поэтому неравенство сводится к:
x + 2 > 0; x > -2
ОДЗ: x ∈ (-2; 4) U (4; 5)
Исходное неравенство распадается на две системы:
1) x ∈ (-2; 4), тогда основание логарифма > 1, логарифм возрастает:
$log_{5-x} \frac{x+2}{(5-x)^4} \geq -4$
$\frac{x+2}{(5-x)^4} \geq (5-x)^{-4}$
$\frac{x+2}{(5-x)^4} \geq \frac{1}{(5-x)^4}$
$x+2 \geq 1$
$x \geq -1$
x ∈ [-1; 4)

2) x ∈ (4; 5), тогда основание логарифма < 1, логарифм убывает:
$log_{5-x} \frac{x+2}{(5-x)^4} \geq -4$
$\frac{x+2}{(5-x)^4} \leq (5-x)^{-4}$
$\frac{x+2}{(5-x)^4} \leq \frac{1}{(5-x)^4}$
$x+2 \leq 1$
$x \leq -1$
Но так как x ∈ (4; 5), то x > -1, значит, в этой области решений нет.

Ответ: x ∈ [-1; 4)