Question

Докажите, что при любом нечетном значении n значение выражения (4n +1) ² – (n + 4) ² кратно 120.

Answer 1

Раскроем скобки: 

$(4n+1)^2 - (n+4)^2=(4n+1-n-4)(4n+1+n+4) = \\ 15(n-1)(n+1) \\ \\ \frac{15(n-1)(n+1)}{120} = \frac{(n-1)(n+1)}{8}$

Тогда наша задача сводится к тому, чтобы доказать, что (n-1)(n+1) при любом нечетном n кратно 8.
Любое нечётное число можно представить в виде: n = 2k+1, k∈Z (Z - множество целых чисел)

$(n-1)(n+1) = (2k+1-1)*(2k+1+1) = 4k*(k+1) \\ \\ \frac{4k*(k+1)}{8} = \frac{k*(k+1)}{2}$

Теперь задача сводится к тому, чтобы доказать, что k(k+1) при любом целом k кратно 2.

Пусть k = 0, тогда произведение равно 0 и отсюда следует, что произведение кратно 2;
Пусть k - нечётное число, тогда k+1 - чётное. Произведение не чётного числа на чётное будет чётным и, следовательно, кратным 2.
Аналогично если k - чётное число.

На основании вышеизложенного приходим к выводу, что (4n+1)² – (n+4)² при любом нечётном n кратно 120.