Question

Помогите срочно, пожалуйста!))!!
1.В равнобедренном треугольнике вписана окружность, которая точкой касания делит боковую сторону на отрезки длиной 18 и 16 см, считая от вершина. Найдите радиус вписанной окружности и площадь треугольника
2.Прямоугольный треугольник вписан в окружность. Найдите радиус этой окружности, если катет треугольника равен 6дм, а синус прилежащего угла равен 0.8
3.Докажите, что если около трапеции можно описать окружность, то эта трапеция равнобедренная.

Answer 1

Задача №1

Отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания вписанной окружности, равны (свойство касательных). Следовательно,
$AB_1=AC_1=BC_1=BA_1$ (см. рис. 1). Поэтому сторона AB равна 16+16=32.

Найдём полупериметр p:
$p=(18+16+18+16+32)/2=(68+32)/2=50.$

Теперь найдём площадь по формуле Герона:
$S= \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{50(50-34)^2(50-32)} = \\ = \sqrt{50\cdot 16^2 \cdot 18} = \sqrt{16^2}\cdot \sqrt {900}=16\cdot 30 = 480.$

Теперь по формуле $S=pr$ найдём радиус вписанной окружности:
$480=50r\\r=480/50=48/5=9,6.$

Ответ: площадь — 480 см², радиус вп. окружности — 9,6 см.


Задача №2
Cм. рис. 2. O — центр описанной окружности, A — прилежащий угол.

Найдём синус противолежащего угла:
$\sin B= \cos (90^{\circ} -B)=\cos A= \sqrt{1-(0,6)^2}= \sqrt{1-0,36} = \\ = \sqrt{0,64} =0,8$

Теперь найдём гипотенузу, применив теорему синусов:
$\frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C} \\ \\ \frac{6}{0,6} = \frac{AB}{1} \\ \\ AB=60/6=10.$

Радиус R описанной окружности в прямоугольном треугольнике равен половине гипотенузы, поэтому:
$R=10/2=5.$

Ответ: 5 дм (не см!!!)

Задача №3
См. рис. 3. BC || AD, AB и CD — бёдра трапеции. Докажем, что AB=CD.

Если вокруг четырёхугольника можно описать окружность, то сумма противоположных углов равна 180° (необходимое условие). То есть ∠A+∠C=∠B+∠D=180°.

С другой стороны, сумма углов, прилежащих к боковым сторонам трапеции, равна 180° (по теореме о параллельных прямых BC и AD и секущей AB). Следовательно, ∠A+∠B=∠C+∠D=180°.

Сопоставив эти равенства, получим, что ∠A=∠D и ∠B=∠C. Является ли это доказательством, что трапеция равнобедренная? Я не помню, изучают ли в школе эту теорему, поэтому на всякий случай докажу.

Проведём высоты BE и CF (см. рис. 4). Они равны, так как все высоты трапеции равны. Поэтому прямоугольные треугольники ABE и DFC равны (по острому углу и катету). Значит, равны их гипотенузы — AB и CD, что и требовалось доказать.