Question

Помогите решить решить 12 задание по ЕГЭ

Answer 1

$(\sqrt{u})'=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot u'\\\\3)\; \; y=x^3+5\sqrt{x}+7\; ,\; \; x\in [\, 4;16\, ]\; \; ,\; \; \; ODZ:\; x \geq 0\\\\y'=3x^2+5\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}+0=\frac{6x^2\sqrt{x}+5}{2\sqrt{x}}=0\; ,\; \; x\ne 0\; ,\\\\6x^2 \sqrt{x}+5=0\; ,\; \; \sqrt{x^{5}}=-\frac{5}{6}\ \textless \ 0\; \; (\sqrt{t} \geq 0)\; \to \; \; net\; kornej\; ,\; \to \\\\net\; kriticheskix\; tochek\; ,\; y'\ \textgreater \ 0\; \; pri\; x\ \textgreater \ 0\; .\\\\y(4)=4^3+5\sqrt4+7=81\\\\y(16)=16^3+5\sqrt{16}+7=4123\quad \to \; \; \; y_{naimen.}=81$



$4)\; \; y=(7-x)\sqrt{x+5}\; ,\; \; x\in [-4,4\, ]\; \; ,\; \; ODZ:\; \; x \geq -5\\\\y'=-1\cdot \sqrt{x+5}+(7-x)\cdot \frac{1}{2\sqrt{x+5}}\cdot 1=-\sqrt{x+5}+ \frac{7-x}{2\sqrt{x+5}}=\\\\=\frac{-2(x+5)+7-x}{2\sqrt{x+5}}=\frac{-3x-3}{2\sqrt{x+5}}=0\; \; \Rightarrow \\\\x=-1\; ,\; \; x\ne -5\; ,\; \; \quad znaki\; y'(x):\; \; (-5)+++[-1\, ]---\\\\y(-4)=(7+4)\sqrt1=3\\\\y(-1)=(7+1)\sqrt{4}=16\\\\y(4)=(7-4)\sqrt9=9\; \; \to \; \; \; y_{naibol.}=16$

$7)\; \; y=(x-15)\sqrt{x+12}+6\; ,\; \; x\in [-8,4\, ]\; \; ,\; \; \; ODZ:\; \; x \geq -12\\\\y'=\sqrt{x+12}+(x-15)\cdot \frac{1}{2\sqrt{x+12}}=\frac{2(x+12)+x-15}{2\sqrt{x+12}}=\frac{3x+9}{2\sqrt{x+12}}=0\\\\x\ne -12\; ,\; \; 3x+9=0\; \; ,\; \; x=-3\\\\y(-8)=-23\cdot \sqrt4=-46\\\\y(-3)=-18\cdot \sqrt9=-63\\\\y(4)=-11\cdot \sqrt{16}=-44\; \; \; \to \; \; \; y_{naimen}=-63$

P.S.  Cледим за тем, чтобы найденные критические точки входили в заданный в условии промежуток. Если какие-то точки не входят в промежуток, то и не вычисляем значение функции в них.
Вообще говоря, не обязательно определять знаки производной, чтобы знать какой экстремум будет в найденной точке, всё равно потом сравним числовые значения функции в критических точках и на концах промежутка и выберем наибольшее и наименьшее значения.