Question

sin7x-sin3x-cos5x=0
Помогите плиз

Answer 1

$\displaystyle \sin{7x} -\sin{3x} -\cos{5x} =0$

Применим формулу разности синусов.

$\displaystyle 2\cos{\frac{7x+3x}2 } \sin{\frac{7x-3x}2 } -\cos {5x} =0$

Упростим дроби и разложим на множители.

$\displaystyle 2\cos{5x} \sin{2x} -\cos{5x} =0\\\\ \cos{5x} \bigg( \sin{2x} -\frac12 \bigg) =0\\ \\ \begin{bmatrix} \displaystyle \cos{5x} =0\\ \displaystyle \sin{2x} =\frac12 \end{matirx}$

Решим простейшие тригонометрические уравнения и найдём x.

$\begin{bmatrix} \displaystyle 5x=\frac{\pi }2 +\pi k\qquad \\\\ \displaystyle 2x=\frac{\pi}6 +2\pi n\quad \\\\ \displaystyle 2x=\pi -\frac{\pi }6 +2\pi n\end{matirx} k,\! n\in \mathbb{Z}$

$\begin{bmatrix} \displaystyle x=\frac{\pi }{10} +\frac{\pi k}5\\\\ \displaystyle x=\frac{\pi}{12} +\pi n\\\\ \displaystyle x=\frac{5\pi }{12} +\pi n\end{matirx} k,\! n\in \mathbb{Z}$

Ответ: $\displaystyle x=\bigg \{ \frac{\pi }{10} +\frac{\pi k}5 ;\frac{\pi}{12} +\pi n; \frac{5\pi }{12} +\pi n\bigg \} ,k,\! n\in \mathbb{Z} .$