Question

Найти неопределённый интеграл от рациональной функции {х^2-2х+2/х-1 dx

Answer 1

$\int\limits { \frac{x^{2}-2x+2}{x-1} } \, dx = \int\limits { \frac{(x-1)^{2}+1}{x-1} } \, dx= \\ \int\limits { (x-1) } \, d(x-1)+ \int\limits { \frac{1}{x-1} } \, d(x-1)= \frac{(x-1)^{2}}{2} +ln|x-1|+C$

Answer 2

Подстановка : t=x-1

$\int \frac{(t+1)^2-2(t+1)+2}{t}dt=\int \frac{t^2+1}{t}dt \\ \\ \int \frac{t^2}{t}+ \frac{1}{t}dt=\int t+ \frac{1}{t} dt=\int tdt+\int \frac{1}{t}dt= \\ \\ = \frac{t^2}{2}+ln(\mid x \mid ) \\ \\ t=x-1: \\ \\ \frac{(x-1)^2}{2}+ln(\mid x-1 \mid )= \frac{x^2-2x+1}{2}+ln (\mid x-1 \mid )+C$