Question

Малое предприятие производит товары A и B. Ежедневные затраты на производство x штук товара A и y штук товара B описывает функция V = V (x, y). Определить количество единиц товаров A и B, которую нужно производить, чтобы общие расходы были минимальными

Answer 1

1. Находим частные производные первого и второго порядков.
dV/dx=-10+0,4*x, dV/dy=-3+0,2*y, d²V/dx²=0,4, d²V/dxdy=0,d²V/dy²=0,2.
2. Приравниваем производные первого порядка к нулю: получаем систему уравнений:

-10+0,4*x=0
-3+0,2*y=0

Решая её, находим x=25 и y=15 - это координаты стационарной точки.

3. Вычисляем значения производных второго порядка в стационарной точке.
A=d²V/dx²(25,15)=0,4, B=d²V/dxdy(25,15)=0, C=d²V/dy²(25,15)=0,2

4. Вычисляем значение выражения A*C-B²=0,08>0. Так как оно положительно, то функция V(x,y) имеет в стационарной точке экстремум, а так как при этом A>0, то это минимум. Значит, общие расходы будут минимальными при производстве 25 единиц товара А и 15 единиц товара В. 

Ответ: 25 и 15 единиц.