Question

Дано уравнение окружности (x-4)^2+y^2=100 и точка F(-4,0) внутри окружности.Покажи,что геометрическое место точек центров окружностей проходящих через точку F и касающихся данной окружности изнутри эллипс.

Answer 1

 Пусть $(a,b)$ центры этих окружностей, тогда по условию 
 $\left \{ {{(x-4)^2+y^2=10^2\\ } \atop {(x-a)^2+(y-b)^2=(-4-a)^2+(0-b)^2}} \right.$ 
 Система по условию должны иметь одно решение 
 $1)\\ (x-a)^2+(y-b)^2=(4+a)^2+b^2 \\ x^2+y^2-2ax-2by-16-8a=0 \\\\ 2) \\ (x-4)^2+y^2=10^2 \\ x^2+y^2-8x-84=0\\\\ 3) \\ ax+by+4a-4x-32=0 \\ y=\frac{4(x-a)+32-ax}{b}$ 
 
 Подставляя, в  и решая как квадратное уравнение $x^2+y^2-8x+84=0 \\ x^2-8x+84+(\frac{4(x-a)+32-ax}{b} )^2 = 0 \\ x^2(a^2-8a+b^2+16)+x(8a^2-100a-8b^2+272)+\\ (16a^2-272a-84b^2+1156)=0 \\\\ D=(8a^2-100a-8b^2+272)^2-4(a^2-8a+b^2+16)\\ (16a^2-272a-84b^2+1156) = 0 \\\\ 25b^2+9a^2=225 \\\\ \frac{b^2}{9} + \frac{a^2}{25} = 1$ 
То есть получаем что центры лежат на Эллипсе  $\frac{b^2}{9} + \frac{a^2}{25} = 1$