Question

Докажите, что при а ≥ 1 выполняется неровность а³ + 1 ≥ а² + а

Answer 1

a³+1≥a²+a    при   a≥1
a³+1-a²-a≥0
Преобразуем его левую часть:
(a³-a²)-(a-1)=a²*(a-1)-(a-1)=(a²-1)*(a-1)=(a+1)*(a-1)*(a-1)=(a+1)*(a-1)².
Так как (а-1)²≥0 и (a+1)>0 при а≥1   ⇒
(a+1)*(a-1)²≥0, а значит а³+1≥а²+а.

Answer 2

$a^3+1 \geq a^2+a \\ a^3+1-a^2-a \geq 0 \\ a^3+1-(a^2+a) \geq 0 \\ (a+1)(a^2-a+1)-a(a+1) \geq 0 \\ (a+1)(a^2-a+1-a) \geq 0 \\ (a+1)(a^2-2a+1) \geq 0 \\ (a+1)(a-1)^2 \geq 0$

$(a-1)^2$ - квадрат любого числа положительное число.
$(a+1)$ - если будет выполнять условие, что $a \geq 1$, то эта скобка будет положительная. Неравенство доказано.