Question

Решите плизз) ❤️даю 100 баллов. Найти сумму рядов. Σ(сверху ∞, снизу n=1) ((n+1)/((n^2)*(n+2)^2);
Приклепила изображение

Answer 1

рассмотрим: $\frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+2)^2} = \frac{n^2+4n+4-n^2}{n^2(n+2)^2} =4* \frac{n+1}{n^2(n+2)^2}$

Значит ряд можно записать:

$\frac{1}{4} ( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} + \frac{1}{3^2} - \frac{1}{5^2} + \frac{1}{4^2} - \frac{1}{6^2} +...)$

очевидно начиная с 3² все знаменатели можно разбить на пары:

$\frac{1}{4} ( \frac{1}{1^2}+ \frac{1}{2^2} +(\frac{1}{3^2} - \frac{1}{3^2} )+(\frac{1}{4^2} - \frac{1}{4^2} )+(\frac{1}{5^2} - \frac{1}{5^2} )+(\frac{1}{6^2} - \frac{1}{6^2} )+...$

все скобки равны 0, поэтому сумма ряда равна:

$\frac{1}{4} (1+ \frac{1}{4})= \frac{1}{4} * \frac{5}{4} = \frac{5}{16}$

Ответ: $\frac{5}{16}$