Question

12p²+q²+16p+4q-4pq+22=

Answer 1

$12p^2+q^2+16p+4q-4pq+22=\\\\ =4p^2-2pq+\frac{q^2}{4}+\\+4p^2-2pq+\frac{q^2}{4}+\\+4p^2+16p+\\+\frac{q^2}{2}+4q+22=\\\\ =(2p)^2-2*2p*\frac{q}{2}+(\frac{q}{2})^2+\\+(2p)^2-2*2p*\frac{q}{2}+(\frac{q}{2})^2+\\+4(p^2+4p+4)-16+\\+\frac{q^2+2*4q}{2}+22=\\\\ =(2p-\frac{q}{2})^2+\\+(2p-\frac{q}{2})^2+\\+4(p+2)^2-16+\\+\frac{q^2+2*q*4+4^2-4^2}{2}+22=\\\\ =(2p-\frac{q}{2})^2+(2p-\frac{q}{2})^2+4(p+2)^2-16+\frac{q^2+2*q*4+4^2}{2}-\frac{4^2}{2}+22=$

$=2(2p-\frac{q}{2})^2+4(p+2)^2-16+\frac{(q+4)^2}{2}-8+22=\\\\ =2(2p-\frac{q}{2})^2+4(p+2)^2+\frac{(q+4)^2}{2}-2$

Answer 2

 Как написали требуется доказать что 
 $12p^2+q^2+16p+4q-4pq+22 \ \textgreater \ 0$
 Возьмем как  
 $12p^2+q^2+16p+4q-4pq+22=0\\ q^2+q(4-4p)+12p^2+16p+22=0$ 
 И рассмотрим как квадратное уравнение относительно  $q$ 
 $D=(4-4p)^2-4(12p^2+16p+22) = \sqrt{-8(2p+3)^2} \\ q=\frac{4p-4+\sqrt{-8(2p+3)^2}}{2} = 2p - 2 + \sqrt{-2(2p+3)^2}$ 
  то есть $12 p^2+q^2+16p+4q-4pq+22 = (q+2-2p)^2+2(2p+3)^2\ \textgreater \ 0$ как сумма квадратов 
 Но неравенство обращается в равенство при $D=0\\ p=-\frac{3}{2}\\ q=2 \cdot -\frac{3}{2} - 2 = -5$