Question

При яких значеннях параметра a корені рівняння x²-(2a+1)x+4-a=0 розміщенні між числами 1 і 3?

Answer 1

Для того, что бы оба корня квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$ находились между $M$ и $N$, необходимо и достаточно, что бы выполнялись условия:

Случай 1:
$\begin{equation*} \begin{cases} a\ \textgreater \ 0\\ D \geq 0\\ M \ \textless \ -\frac{b}{2a} \ \textless \ N\\ f(M)\ \textgreater \ 0\\ f(N)\ \textgreater \ 0 \end{cases} \end{equation*}$

Случай 2:
$\begin{equation*} \begin{cases} a\ \textless \ 0\\ D \geq 0\\ M \ \textless \ -\frac{b}{2a} \ \textless \ N\\ f(M)\ \textless \ 0\\ f(N)\ \textless \ 0 \end{cases} \end{equation*}$

---------------------------------
$x^2-(2a+1)x+4-a=0\ \ \ \ M=1\ \ \ \ N=3\\\\ \begin{equation*} \begin{cases} 1\ \textgreater \ 0\\ D=[-(2a+1)]^2-4*1*(4-a) \geq 0\\ 1 \ \textless \ -\frac{-(2a+1)}{2*1} \ \textless \ 3\\ f(1)=1-(2a+1)*1+4-a\ \textgreater \ 0\\ f(3)=3^2-(2a+1)*3+4-a\ \textgreater \ 0 \end{cases} \end{equation*}$

$\begin{equation*} \begin{cases} 4a^2+4a+1-16+4a \geq 0\\ 2 \ \textless \ 2a+1 \ \textless \ 6\\ 5-a-2a-1\ \textgreater \ 0\\ 13-a-6a-3\ \textgreater \ 0 \end{cases} \end{equation*} \\\\ \begin{equation*} \begin{cases} 4a^2+8a-15 \geq 0\\ 1 \ \textless \ 2a \ \textless \ 5\\ -3a\ \textgreater \ -4\\ -7a\ \textgreater \ -10 \end{cases} \end{equation*}$

$\begin{equation*} \begin{cases} 4a^2+8a-15 \geq 0\ \ \ D=8^2+4*4*15=19*4^2\\ \frac{1}{2} \ \textless \ a \ \textless \ \frac{5}{2}\\ a\ \textless \ \frac{4}{3}\\ a\ \textless \ \frac{10}{7} \end{cases} \end{equation*} \\\\ \begin{equation*} \begin{cases} [a-\frac{-8-4\sqrt{19}}{4*2}]*[a-\frac{-8+4\sqrt{19}}{4*2}] \geq 0\\ a \ \textgreater \ \frac{1}{2}\\ a\ \textless \ \frac{4}{3}\\ \end{cases} \end{equation*}$

$\begin{equation*} \begin{cases} [a-\frac{-2-\sqrt{19}}{2}]*[a-\frac{-2+\sqrt{19}}{2}] \geq 0\\ \frac{1}{2}\ \textless \ a\ \textless \ \frac{4}{3} \end{cases} \end{equation*}\\\\ \begin{equation*} \begin{cases} a\in(-\infty;\ \frac{-2-\sqrt{19}}{2}]\cup[\frac{-2+\sqrt{19}}{2};\ +\infty)\\ a\in(\frac{1}{2};\ \frac{4}{3}) \end{cases} \end{equation*}$

$\frac{4}{3}\ ?\ \frac{-2+\sqrt{19}}{2}\\\\ 8\ ?\ -6+3\sqrt{19}\\\\ 14\ ?\ 3\sqrt{19}\\\\ \sqrt{196}\ \textgreater \ \sqrt{171}$

$\frac{1}{2}\ ?\ \frac{-2+\sqrt{19}}{2}\\\\ 1\ ?\ -2+\sqrt{19}\\\\ 3\ ?\ \sqrt{19}\\\\ 9\ \textless \ 19$

--------------------------------------
$a\in[\frac{-2+\sqrt{19}}{2};\ \frac{4}{3})$