Question

Помогите решить, пожалуйста

Answer 1

О-центр окружностей, делит медианы в отношении 2 к 1 от вершины
BM=CB*sin60=8*√3/2=4√3
BO=OC=OA=(2/3)*BM=8/√3
OM=BM/3=4/√3=PO
ΔOMP-равнобедренный и прямоугольный
MP=MO/sin45=4/√3/(√2/2)=4√(2/3)≈3.26
ΔPOC-прямоугольный
PC^2=PO^2+OC^2=(4/√3)^2+(8/√3)^2=16/3+64/3=80/3
PC=4√(5/3)≈5.16

Answer 2

Задача имеет единственное решение только при условии, что PO перпендикулярно плоскости треугольника: PO⊥(ΔABC)

ΔABC - равносторонний:  a = AB = BC = AC = 8 см
BM - высота, медиана и биссектриса
Точка О - точка пересечения биссектрис и высот - центр вписанной/описанной окружности для равностороннего треугольника
MO = r - радиус вписанной окружности
$MO = r = \frac{a}{2 \sqrt{3} } = \frac{8}{2 \sqrt{3} } =\frac{4}{ \sqrt{3} }$ см
AO = BO = CO = R - радиус описанной окружности
$CO = R = \frac{a}{ \sqrt{3} } = \frac{8}{ \sqrt{3} }$ см

ΔMOP - прямоугольный: ∠MOP=90°, ∠MPO = 45° ⇒
∠PMO = ∠MPO = 45°  и  PO = MO = $\frac{4}{ \sqrt{3} }$  ⇒
$PM = MO * \sqrt{2} = \frac{4}{ \sqrt{3} } * \sqrt{2} =4 \sqrt{ \frac{2}{3} }$ см

ΔCOP - прямоугольный: ∠COP = 90°.  Теорема Пифагора
PC² = PO² + CO² =
$= (\frac{4}{ \sqrt{3} } )^2 + ( \frac{8}{ \sqrt{3} } )^2= \frac{16}{3} + \frac{64}{3} = \frac{80}{3}$
$PC = \sqrt{ \frac{80}{3} } =4 \sqrt{ \frac{5}{3} }$ см

Ответ: $PM = 4 \sqrt{ \frac{2}{3} }$ см;  $PC = 4 \sqrt{ \frac{5}{3} }$ см