Question

Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак объемом 6, 28 м3. Каким должны быть его радиус и высота, чтобы на изготовление бака ушло наименьшее количество листовой стали?

Answer 1

Обозначим: h - высота цилиндра, R - радиус его основания
Объем бака:
                          $\displaystyle V= \pi R^{2}h$

Площадь полной поверхности бака:

                          $\displaystyle S=2 \pi R^{2}+2 \pi Rh$

В качестве независимой переменной выберем радиус основания R.
Выразим h через R при заданном объеме V:                         
                         
                            $\displaystyle h= \frac{V}{ \pi R^{2}}$

Исследуем площадь поверхности S(R) на экстремум
Подставляем h:
                         
     $\displaystyle S(R)=2 \pi R^{2}+2 \pi Rh=2 \pi R^{2}+2 \pi R* \frac{V}{ \pi R^{2}}=2 \pi R^{2}+ \frac{2V}{R}$

Вычисляем производную:

$\displaystyle S'(R)=(2 \pi R^{2}+ \frac{2V}{R})'=4 \pi R- \frac{2V}{R^{2}}= \frac{4 \pi R^{3}-2V}{R^{2}}$                      

Находим стационарные точки:

            $\displaystyle S'(R)=0 \\ \\ \frac{4 \pi R^{3}-2V}{R^{2}}=0 \\ \\ \\ \left \{ {{4 \pi R^{3}-2V=0} \atop {R^{2} \neq 0}} \right. \\ \\ \\ R= \sqrt[3]{ \frac{V}{2 \pi } }= \sqrt[3]{ \frac{6,28}{2*3,14}}= \sqrt[3]{1}=1$

Так как при переходе через это значение R производная меняет знак с минуса на плюс, то данное значение R соответствует минимальной площади поверхности S(R).

Вычислим высоту найденного цилиндра:

$\displaystyle h= \frac{V}{ \pi R^{2}}= \frac{V}{ \pi ( \sqrt[3]{V/2 \pi })^{2}}= \frac{V \sqrt[3]{4 \pi ^{2}}}{ \pi \sqrt[3]{V^{2}}}= \frac{ \sqrt[3]{4V}}{ \sqrt[3]{ \pi }}= \sqrt[3]{ \frac{4V}{ \pi } }$

Подставим значение объема из условия:

               $\displaystyle h= \sqrt[3]{ \frac{4*6,28}{3,14}}= \sqrt[3]{8}=2$

Таким образом, площадь поверхности цилиндра с объемом 6,28 м³ будет минимальной при высоте h = 2 м и радиусе основания R = 1 м.
Осевое сечение такого цилиндра представляет собой квадрат.