Question

решите уравнения с заменой переменной
№167(1,2)

Answer 1

1) $\frac{ x^{2} }{(3x+1)^{2}} - \frac{6x}{3x+1} + 5 = 0$
Найдем ОДЗ: $3x+1 \neq 0$ ⇔ $x \neq - \frac{1}{3}$
Пусть $t =\frac{x}{3x+1}$
$(\frac{ x }{3x+1})^{2} - 6\frac{x}{3x+1} + 5 = 0$
$t^{2} - 6t + 5 = 0$
По теореме Виетта:
$\left \{ {{t_{1} + t_{2} = 6} \atop {t_{1}*t_{2}=5}} \right.$ ⇔ $\left \{ {{t_{1} = 5} \atop {t_{2}=1}} \right.$
Подставим $t_{1}$:
$\frac{x}{3x+1} = 5$
$x = 5(3x+1)$
$x = 15x+5$
$-14x = 5$
$x = - \frac{5}{14}$ ∈ ОДЗ
Подставим $t_{2}$:
$\frac{x}{3x+1} = 1$
$x = 3x+1$
$-2x = 1$
$x = - \frac{1}{2}$ ∈ ОДЗ
Ответ: $- \frac{5}{14}; - \frac{1}{2}$

2) $\frac{x-5}{x+3} + \frac{x+3}{x-5} = -2 \frac{1}{2}$
Найдем ОДЗ: $\left \{ {{x+3 \neq 0} \atop {x-5 \neq 0}} \right.$ ⇔ $\left \{ {{x \neq -3} \atop {x \neq 5}} \right.$
Пусть $t =\frac{x-5}{x+3}$, тогда $\frac{1}{t} = \frac{x+3}{x-5}$
$t + \frac{1}{t} = -2 \frac{1}{2} |*t$
$t^{2}+ \frac{5}{2} t + 1 = 0$
По теореме Виетта:
$\left \{ {{t_{1} + t_{2} = - \frac{5}{2} } \atop {t_{1}*t_{2}=1}} \right.$ ⇔ $\left \{ {{t_{1} = -2} \atop {t_{2}=- \frac{1}{2} }} \right.$
Подставим $t_{1}$:
$\frac{x-5}{x+3} = -2$
$x-5=-2(x+3)$
$x-5=-2x-6$
$3x=-1$
$x=- \frac{1}{3}$ ∈ ОДЗ
Подставим $t_{2}$:
$\frac{x-5}{x+3} = -\frac{1}{2}$
$x-5=-\frac{1}{2}(x+3)$
$x-5=-\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}$
$\frac{3}{2}x=\frac{7}{2}$
$x=\frac{7}{2} * \frac{2}{3}$
$x=\frac{7}{3}$
$x=2\frac{1}{3}$ ∈ ОДЗ
Ответ: $- \frac{1}{3}; 2 \frac{1}{3}$