Question

Профильная математика
с полным решением

Answer 1

$\frac{6}{3 - \sqrt{ log_{2}(x + 12) } } \geqslant 2 + \sqrt{ log_{2}(x + 12) }$
Найдем ОДЗ:
Здесь должен быть знак перечёркнутого равно
$3 - \sqrt{ log_{2}(x + 12) } = 0 \\ \sqrt{ log_{2}(x + 12) } = 3 \\ log_{2}(x + 12) = 9 \\ x + 12 = {2}^{9 } \\ x + 12 = 512 \\ x = 500$
$log_{2}(x + 12) > 0 \\ x + 12 > 1 \\ x > - 11$
$x + 12 > 0 \\ x > - 12$
Совмещаем получившиеся решения на оси и получаем интервал х€(-11;500)U(500;+∞)
Для более удобного решения введём новую переменную :
$\sqrt{ log_{2}(x + 12) } = t$
Получаем
$\frac{6}{3 - t} \geqslant 2 + t \\ \frac{6}{3 - t} - 2 - t \geqslant 0 \\ \frac{6 - 2(3 - t) - t(3 - t)}{3 - t } \geqslant 0 \\ \frac{6 - 6 +2 t - 3t + {t}^{2} }{3 - t} \geqslant 0 \\ \frac{ {t}^{2} - t }{3 - t} \geqslant 0$
${t}^{2} - t = 0 \\ t(t - 1) = 0 \\ t = 0 \\ t = 1$
Здесь должен быть знак перечёркнутого равно
3-t=0
t=3
Используя метод интервалов находим интервалы пересечения
t€(-∞;0]U[1;3)
Находим х :
$\sqrt{ log_{2}(x + 12) } < 0 \\ log_{2}(x + 12) < 0 \\ x < - 11$
$1 \leqslant \sqrt{ log_{2}(x + 12) } < 3 \\ 1 \leqslant log_{2}(x + 12) < 9 \\ 2\leqslant x + 12 < 512 \\ - 10 \leqslant x < 500$
Совмещаем получившиеся промежутки с ОДЗ и получаем интервал
х€{-11}U[-10;500)