Question

Sinx+cosx=1+0,5sin2x Решите Пожалуйста!

Answer 1

Сделаем замену:
$t=sinx+cosx\\ t^2=1+sin 2x \\ sin2x = t^2-1$
Уравнение принимает вид:
$t=1+\dfrac{t^2-1}{2}\\ t^2-2t+1=0\\ t=1$
Вернемся к х:
sin x + cos x = 1
$\frac{ \sqrt{2} }{2} sinx+ \frac{ \sqrt{2} }{2} cosx= \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ cos(x- \frac{ \pi }{4}) = \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ x- \frac{ \pi }{4} = \б \frac{ \pi }{4} + 2 \pi k\\ x_1= \frac{ \pi }{2}+2 \pi k;\ x_2=2 \pi k;\ k \in Z.$
Ответ: $\frac{ \pi }{2}+2 \pi k;\ 2 \pi k;\ k \in Z.$