Question

Натуральное число N в 99…9 (цифра 9 повторяется k раз) раз больше суммы своих цифр. Укажите все возможные значения k и для каждого из них приведите пример такого числа.

Answer 1

$N=10^xa_{1}+10^{x-1}a_{2}+...+a_{n}$ есть число, тогда по условию 
$10^xa_{1}+10^{x-1}a_{2}+...+a_{n}=(10^k-1)(a_{1}+a_{2}+...+a_{n})$ 
Преобразовывая  
$1)\\a_{1}(10^x+1)+a_{2}(10^{x-1}+1)+...+2a_{n}=10^k(a_{1}+a_{2}+...+a_{n}) \\ 2)\\a_{1}(10^x-1)+a_{2}(10^{x-1}-1)+...+a_{n-1}(10^{x-(n-1)}-1) = \\ (10^k-2)(a_{1}+a_{2}+...+a_{n})$  
числа $gcd (9, 10^{k}-2)=1$ или взаимно просты, значит 
$\left \{ {{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}=9} \atop {111...11a_{1}+111..1a_{2}+...+a_{n}=10^{k-2}}} \right.$ 
отсюда перебирая, и учитывая что $a_{1},a_{2},...,a_{n}\ \textless \ 9$   откуда получаем единственное решение 
 $81$ то есть $\frac{81}{8+1}=9\\ k = 1$