Question

Найти наибольшее и наименьшее значение функции \frac{x^{2}+7x}{x-9}
на промежутке [-4; 1]

Answer 1

Найдем стационарные точки:

$f(x)=\frac{x^{2}+7x}{x-9}\\\\ f'(x)=[\frac{x^{2}+7x}{x-9} ]'=\frac{[x^2+7x]'*[x-9]-[x^2+7x]*[x-9]'}{(x-9)^2}=\\\\ =\frac{[2x+7]*[x-9]-[x^2+7x]*[1]}{(x-9)^2}=\frac{2x^2-18x+7x-63-x^2-7x}{(x-9)^2}=\\\\ =\frac{x^2-18x-63}{(x-9)^2}.\\\\ f'(x)=0\\\\ \frac{x^2-18x-63}{(x-9)^2}=0\\\\ \frac{x^2-21x+3x-63}{(x-9)^2}=0\\\\ \frac{x(x-21)+3(x-21)}{(x-9)^2}=0\\\\ \frac{(x+3)(x-21)}{(x-9)^2}=0\\\\ x_1=-3\ \ x_2=21$

$f'(x)=\frac{(x+3)(x-21)}{(x-9)^2}\\\\ +++++[-3]------(9)-----[21]++++\ \textgreater \ x$

Получили, что при значении $x=-3$ функция $f(x)$ достигает своего  максимума:
$f(-3)=\frac{(-3)^{2}+7*(-3)}{-3-9} =\frac{9-21}{-12}=1$

также, при значении $x=21$ функция $f(x)$ достигает своего  максимума:
$f(21)=\frac{21^{2}+7*21}{21-9}=\frac{588}{12}=49$

на концах интервала значения функции:
$f(-4)=\frac{(-4)^{2}+7*(-4)}{-4-9} =\frac{16-28}{-13}=\frac{12}{13}\\\\ f(1)=\frac{1^{2}+7*1}{1-9} =\frac{8}{-8}=-1$

--------------------------
В итоге, наибольшее значение функции на промежутке $[-4;\ 1]$ равно $f(-3)=1$, и наименьшее: $f(1)=-1$
---------------------------
Ответ: на промежутке $x\in[-4;\ 1]$     $-1 \leq f(x) \leq 1$