Question

При каких значениях А сумма кубов корней уравнения будет максимальной?

Answer 1

$6x^2+6(a-1)x-5a+2a^2=0$
Разделим почленно уравнение на 6 чтобы получить приведенное уравнение:
$x^2+(a-1)x+ \dfrac{2a^2-5a}{6} =0$
Если это уравнение имеет корни, то их сумма равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком:
$x_1+x_2=1-a$
а произведение корней равно свободному члену:
$x_1x_2=\dfrac{2a^2-5a}{6}$
Выразим сумму кубов через сумму и произведение. Возьмем сумму корней и возведем ее в куб:
$(x_1+x_2)^3=x_1^3+3x_1^2x_2+3x_1x_2^2+x_2^3$
Перегруппируем слагаемые в правой части:
$(x_1+x_2)^3=x_1^3+x_2^3+3x_1x_2(x_1+x_2)$
И выразим сумму кубов:
$x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2)$
Вычисляем сумму кубов:
$x_1^3+x_2^3=(1-a)^3-3\cdot\dfrac{2a^2-5a}{6}\cdot (1-a)= \\\ =1-3a+3a^2-a^3-(a^2-2.5a)(1-a)= \\\ =1-3a+3a^2-a^3-a^2+a^3+2.5a-2.5a^2= \\\ =-0.5a^2-0.5a+1$
Сумма кубов есть квадратичная функция от а с отрицательным старшим коэффициентом. Значит, ее максимум достигается в вершине при а, равном:
$a_m=- \dfrac{-0.5}{2\cdot(-0.5)} =- \dfrac{1}{2} =-0.5$
Убедимся, что при а=-0,5 исходное уравнение действительно имеет корни:
$6x^2-6\cdot(-0,5-1)\cdot x-5\cdot(-0.5)+2\cdot(-0.5)^2=0 \\\ 6x^2-9x+3=0 \\\ 2x^2-3x+1=0$
Сумма коэффициентов равна 0, корни уравнения 1 и 1/2.
Ответ: при а=-0,5