Question

СРОЧНО!!!! Решите, пожалуйста, уравнение.
sin^2(x)+sin^2(2x)+cos^2(3x)+cos^2(4x)=2

Answer 1

По формуле понижения степени: $\sin^2 \alpha = \dfrac{1-\cos2 \alpha }{2} ;~~~ \cos^2 \alpha =\dfrac{1+\cos2 \alpha }{2}$
    
$\dfrac{1-\cos2 x }{2} + \dfrac{1-\cos4 x }{2} + \dfrac{1+\cos6 x }{2} + \dfrac{1+\cos8 x }{2} =2\\ \\ 1-\cos2x+1-\cos4x+1+\cos6x+1+\cos8x=4\\ \\ \cos6x+\cos 8x-(\cos 2x+\cos 4x)=0\\ \\ 2\cos7x\cos x-2\cos x\cos3x=0\\ \\ 2\cos x(\cos 7x-\cos 3x)=0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю
$\cos x=0;~~~\Rightarrow~~~ x= \frac{\pi}{2}+ \pi n,n \in \mathbb{Z}$

$\cos 7x-\cos 3x=0$

$-2\sin5x\sin2x=0$

$\displaystyle \left[\begin{array}{ccc}\sin5x=0\\ \\ \sin 2x=0\end{array}\right~~~\Rightarrow~~~ \left[\begin{array}{ccc}x= \frac{\pi n}{5},n \in \mathbb{Z} \\ \\ x= \frac{\pi n}{2},n \in \mathbb{Z} \end{array}\right$