Question

Диалгонали АС и ВD трапеции ABCD пересекаются в точке К.
Площадь треугольника АВК равна 24, а ВС:AD=1:4. Найдите площадь трапеции.

Answer 1

Трапеция ABCD:     ВС:AD=1:4;  AD║BC;   ⇒  
∠BCA = ∠CAD;  ∠CBD = ∠BDA - накрест лежащие углы при параллельных прямых  ⇒
ΔBCK ~ ΔDKA по двум равным углам  ⇒
$\frac{BC}{AD} = \frac{CK}{AK} = \frac{BK}{KD} = \frac{1}{4}$
AD = 4BC; AK = 4CK;  KD = 4BK
Коэффициент подобия k = 4

$S_{ABK}= \frac{1}{2} AK*BM = 24 \\ \\ S_{BCK}= \frac{1}{2} CK*BM = \frac{1}{2} *( \frac{1}{4} AK)*BM= \\ \\ = \frac{1}{4} *( \frac{1}{2} AK*BM)= \frac{1}{4} *S_{ABK}= \frac{1}{4} *24 = 6$
ΔBCK ~ ΔDKA  -  площади подобных фигур относятся как коэффициент подобия в квадрате  ⇒
$S_{DKA}=k^2*S_{BCK}=4^2*6 = 96$
$S_{DCK}= S_{ABK}= 24$ по свойству диагоналей трапеции

$S_{ABCD}= S_{ABK}+S_{BKC}+S_{DCK}+S_{DKA}=$
=24+6+24+96=150
Площадь трапеции  150 кв.ед.