Question

помогите пожл решить тема пределы и непрерывность

Answer 1

4)
$\lim_{x \to \infty} (\frac{7x+3}{7x-1})^{2x} = \lim_{x \to \infty} (1+\frac{4}{7x-1})^{2x}$
Так как
 $\lim_{x \to \infty} (\frac{4}{7x-1}) =0$
То
$\lim_{x \to \infty} (1+\frac{1}{\frac{7x-1}{4}})^{\frac{7x-1}{4}} = \lim_{x \to \infty} (1+\frac{4}{7x-1})^{\frac{7x-1}{4}} = e$
Тогда:
$\lim_{x \to \infty} (1+\frac{1}{\frac{7x-1}{4}})^{2x} = \lim_{x \to \infty} ((1+\frac{1}{\frac{7x-1}{4}})^{\frac{7x-1}{4}})^{\frac{2x * 4}{7x-1}} = \\ = \lim_{x \to \infty} ((1+\frac{1}{\frac{7x-1}{4}})^{\frac{7x-1}{4}})^{\frac{\frac{2x}{x} * 4}{\frac{7x}{x}-\frac{1}{x}}} = e^{\frac{8}{7}}$

5)
$\lim_{x \to 0} \frac{sin^3x}{3x^3} = \lim_{x \to 0} (\frac{1}{3} * (\frac{sin x}{x})^3)$
По первому замечательному пределу:
$\lim_{x \to 0} \frac{sin x}{x} = 1$
Тогда получаем:
$\lim_{x \to 0} (\frac{1}{3} * (\frac{sin x}{x})^3) = \frac {1}{3} * 1 = \frac {1}{3}$

6)
$\lim_{x \to \frac{\pi}{2} } \frac{ctg x}{\pi - 2x} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{cos x}{sin x(\pi - 2x)}$
При подстановке значения x в выражение получаем неопределенность $\frac{0}{0}$.
Сделаем замену:
$t = \pi - 2x \\ t \to 0$
Тогда:
$x = \frac{\pi - t}{2}$
Выполним преобразования:
$\lim_{t \to 0} \frac{cos(\frac{\pi - t}{2})}{sin(\frac{\pi-t}{2})t} = \lim_{t \to 0} \frac{cos\frac{\pi}{2}cos\frac{t}{2} + sin\frac{\pi}{2}sin\frac{t}{2}}{t(sin\frac{\pi}{2}sin\frac{t}{2} - cos\frac{\pi}{2}sin\frac{t}{2})} = \\ \lim_{t \to 0} \frac{cos\frac{\pi}{2}cos\frac{t}{2}}{t(sin\frac{\pi}{2}sin\frac{t}{2} - cos\frac{\pi}{2}sin\frac{t}{2})} + \lim_{t \to 0} \frac{sib\frac{\pi}{2}sin\frac{t}{2}*\frac{1}{2}}{t(sin\frac{\pi}{2}sin\frac{t}{2} - cos\frac{\pi}{2}sin\frac{t}{2})*\frac{1}{2}}$
$= 0 + \frac{1 * \frac{1}{2}}{(1 - 0)*1} = \frac{1}{2}$