Question

параметры егэ (100б)

Answer 1

Найдём дискриминант:
$D = (2(a+2))^2-4a(a+5) = 4a^2+16a+16-4a^2-20a=16-4a$
Уравнение имеет два корня, если дискриминант больше нуля:
$16-4a\ \textgreater \ 0 \\ 4a\ \textless \ 16 \\ a\ \textless \ 4$
Теперь найдём корни уравнения:
 $\sqrt{D} = \sqrt{16-4a} =2 \sqrt{4-a} \\ \\ x_1= \frac{-2(a+2)-2 \sqrt{4-a} }{2a} = \frac{-(a+2)- \sqrt{4-a} }{a}\\ \\ x_2=\frac{-2(a+2)+2 \sqrt{4-a} }{2a}=\frac{-(a+2)+ \sqrt{4-a} }{a}$

Модуль разности между этими решеними и будет расстоянием между корнями. По условию оно должно быть больше 1:
$|\frac{-(a+2)- \sqrt{4-a} }{a}-\frac{-(a+2)+ \sqrt{4-a} }{a}|=|\frac{-(a+2)- \sqrt{4-a} +(a+2)-\sqrt{4-a}}{a}|=| \frac{-2\sqrt{4-a}}{a} |$
$------------------------------- \\ | \frac{-2\sqrt{4-a}}{a} |\ \textgreater \ 1$
Решая получившееся неравенство и получится ответ.
1) Если $\frac{-2\sqrt{4-a}}{a}>0$ или a>0
${\frac{-2\sqrt{4-a}}{a}\ \textgreater \ 1} \\ -2\sqrt{4-a}\ \textgreater \ a \\ 4(4-a)\ \textgreater \ a^2 \\ a^2+4a-16\ \textless \ 0 \\ 0\ \textless \ a\ \textless \ 2 \sqrt{5} -2$

2) Если $\frac{-2\sqrt{4-a}}{a}<0$ или a<0
$\frac{-2\sqrt{4-a}}{a}\ \textless \ -1 \\ \frac{2\sqrt{4-a}}{a}\ \textgreater \ 1 \\ 2\sqrt{4-a}\ \textgreater \ a \\ 4(4-a)\ \textgreater \ a^2 \\ a^2+4a-16\ \textless \ 0 \\ -2-2 \sqrt{5} \ \textless \ a\ \textless \ 0$

Решения 1) и 2) не превосходят 4, поэтому подходят целиком.
$OTBET: (-2-2 \sqrt{5} ; 0) \cup ( 0;2 \sqrt{5} -2)$