Question

При повышении температуры идеального газа на 10 К, средняя квадратичная скорость его молекул увеличилась с 100 м/с до 140 м/с. На сколько кельвинов надо поднять температуру газа, чтобы эта скорость увеличилась с 200 м/с до 240 м/с?

Answer 1

У нас в задаче 4 состояния газа (со скоростью молекул 100, 140, 200, 240 м/с) – дадим им соответствующие инжексы "1", "2", "3", "4".

Температура идеального газа пропорциональна средней квадратичной скорости движения молекул во второй степени:
$T \sim V^2$
Значит
$\dfrac{T_1}{T_2} = \dfrac{V_1^2}{V_2^2} \\\\ T_2 = T_1\dfrac{V_2^2}{V_1^2} \\\\ T_2 = T_1\dfrac{140^2}{100^2} \\\\ T_2 = 1,96T_1$
При этом первая температура меньше второй на величину ΔT₁₂ = 10 К, значит:
$T_1 = T_2-\Delta T_{12} \\\\ T_1 = 1,96T_1-\Delta T_{12} \\\\ 0,96T_1=\Delta T_{12} \\\\ T_1= \dfrac{\Delta T_{12}}{0,96}$

Температуры в состояниях 1 и 3 относятся как:
$\dfrac{T_1}{T_3}=\dfrac{V_1^2}{V_3^2} \\\\ T_3 = T_1\dfrac{V_3^2}{V_1^2} \\\\ T_3 = \dfrac{\Delta T_{12}}{0,96} \cdot \dfrac{200^2}{100^2} \\\\ T_3 = \dfrac{4\cdot\Delta T_{12}}{0,96}$

Температуры в состояниях 3 и 4 относятся как:
$\dfrac{T_3}{T_4}=\dfrac{V_3^2}{V_4^2} \\\\ T_4 = T_3\dfrac{V_4^2}{V_3^2} \\\\ T_4 = \dfrac{4\cdot\Delta T_{12}}{0,96} \cdot \dfrac{240^2}{200^2} \\\\ T_4 = \dfrac{5,76\cdot\Delta T_{12}}{0,96}$

Разница температур в состояниях 3 и 4:
$\Delta T_{34}=T_4-T_3 \\\\ \Delta T_{34}=\dfrac{5,76\cdot\Delta T_{12}}{0,96}-\dfrac{4\cdot\Delta T_{12}}{0,96} \\\\ \Delta T_{34}=\dfrac{1,76\cdot\Delta T_{12}}{0,96} \\\\ \Delta T_{34}=\dfrac{11}{6}\cdot\Delta T_{12} \\\\ \Delta T_{34}=\dfrac{11}{6}\cdot 10\;K \\\\ \Delta T_{34}\approx18,3\;K$

Ответ: 18,3 К.