Question

матем 10-11класс
${ \cos }^{2} x - 3 \sin(x) = 0$

Answer 1

$cos^2x-3sinx=0 \\ 1-sin^2x-3sinx=0 \\ sin^2x+3sinx-1=0$
замена
$sinx=a \\ -1 \leq a \leq 1$

$a^2+3a-1=0 \\ D=9+4=13 \\ a_1= \frac{-3+ \sqrt{13} }{2} \\ \\ a_2= \frac{-3- \sqrt{13} }{2}$
a2 не подходит потому что меньше 1

$sinx= \frac{-3+ \sqrt{13} }{2} \\ \\ x=(-1)^k*arcsin(\frac{-3+ \sqrt{13} }{2} )+ \pi k, k \in Z$

Answer 2

Сделаем так, чтобы у нас был только синус в этом уравнении. Воспользуемся основным тождеством $sin^2x+cos^2x=1 = \ \textgreater \ cos^2x=1-sin^2x$
Подставим.
$(1-sin^2x)-3sinx=0;\newline -sin^2x-3sinx+1=0| \cdot(-1);\newline sin^2x+3sinx-1=0$
делаем замену sinx=t, и решаем обычное квадратное уравнение.
$t^2+3t-1=0;\newline D=9-4*1*(-1)=9+4=13\newline \sqrt{D}=\sqrt{13}.\newline t_1=\frac{-3+\sqrt{13}}{2}\newline t_2=\frac{-3-\sqrt{13}}{2}\newline$
Обратную замену делаем:
$sinx=\frac{-3+\sqrt{13}}{2}=\ \textgreater \ x = arcisin(\frac{-3+\sqrt{13}}{2})+2\pi k , k \in \mathbb{Z}\newline sinx=\frac{-3-\sqrt{13}}{2}=\ \textgreater \ x = arcisin(\frac{-3-\sqrt{13}}{2})+2\pi k , k \in \mathbb{Z}\newline$