Question

Методом невизначених коефіцієнтів знайти загальний розв'язок лінійного неоднорідного рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами

y"- 2y'=x^2-1

Answer 1

$y''-2y'=x^2-1$Дифференциальное уравнение является дифференциальным уравнением второго порядка со специальной право частью.
1. Найдем сначала общее решение соответствующего однородного уравнения: $y''-2y'=0$ переходя к характеристическому уравнению $k^2-2k=0$ имеем, $k_1=0,~~ k_2=2$

Уо.о. = $C_1+C_2e^{2x}$ - общее решение однородного уравнения.

2. Рассмотрим функцию $f(x)=x^2-1=e^{0x}(x^2-1)$
$P_n(x)=x^2-1~~~\Rightarrow~~~ n=2;\\ \alpha =0$
Сравнивая $\alpha$ с корнями характеристического уравнения и, принимая во внимания, что $n=2$ частное решение будем искать в виде:  yч.н. = $x(Ax^2+Bx+C)=Ax^3+Bx^2+Cx$

Найдем для нее первую и вторую производную:
$y'=3Ax^2+2Bx+C\\ y''=6Ax+2B$ и подставляем в исходное уравнение

$6Ax+2B-2(3Ax^2+2Bx+C)=x^2-1\\ 6Ax+2B-6Ax^2-4Bx-2C=x^2-1\\ -6Ax^2+(6A-4B)x+2B-2C=x^2-1$
Приравниваем коэффициенты при степени х:
$\displaystyle \begin{cases} & \text{ } -6A=1 \\ & \text{ } 6A-4B=0 \\ & \text{ } 2B-2C=-1 \end{cases}~~~~\Rightarrow~~~\begin{cases} & \text{ } A=- \frac{1}{6} \\ & \text{ } B=- \frac{1}{4} \\ & \text{ } C= \frac{1}{4} \end{cases}$

уч.н. = $-\frac{1}{6} x^3-\frac{1}{4} x^2+\frac{1}{4} x$ - частное решение.


ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ИСХОДНОГО НЕОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ:
                                     $\boxed{y=C_1+C_2e^{2x}-\frac{1}{6} x^3-\frac{1}{4} x^2+\frac{1}{4} x}$